Análisis dimensional

Objetivos de aprendizaje
Al final de esta sección, serás capaz de:
Hallar las dimensiones de una expresión matemática en la que intervienen magnitudes físicas.
Determinar si una ecuación que involucra cantidades físicas es dimensionalmente consistente.
La dimensión de cualquier magnitud física expresa su dependencia de las magnitudes de base como un producto de símbolos (o potencias de símbolos) que representan las magnitudes de base. En la Tabla 1.3 se enumeran las magnitudes básicas y los símbolos utilizados para su dimensión. Por ejemplo, una medida de longitud tiene dimensión L o L1, una medida de masa tiene dimensión M o M1 y una medida de tiempo tiene dimensión T o T1. Al igual que las unidades, las dimensiones obedecen a las reglas del álgebra. Así, el área es el producto de dos longitudes y, por tanto, tiene dimensión L2, o longitud al cuadrado. Del mismo modo, el volumen es el producto de tres longitudes y tiene dimensión L3, o longitud al cubo. La velocidad tiene la dimensión longitud sobre tiempo, L/T o LT-1. La densidad volumétrica de la masa tiene la dimensión M/L3 o ML-3, o masa sobre longitud al cubo. En general, la dimensión de cualquier magnitud física puede escribirse como LaMbTcIdΘeNfJg para algunas potencias a,b,c,d,e,f, y g. Podemos escribir las dimensiones de una longitud de esta forma con a=1 y las seis potencias restantes iguales a cero: L1=L1M0T0I0Θ0N0J0. Cualquier cantidad con una dimensión que pueda escribirse de forma que las siete potencias sean cero (es decir, que su dimensión sea L0M0T0I0Θ0N0J0) se denomina adimensional (o a veces "de dimensión 1", porque cualquier cosa elevada a la potencia cero es uno). Los físicos suelen llamar números puros a las cantidades adimensionales.

Cantidad base Símbolo de dimensión
Longitud L
Masa M
Tiempo T
Corriente I
Temperatura termodinámica Θ
Cantidad de sustancia N
Intensidad luminosa J
Cuadro 1.3 Cantidades básicas y sus dimensiones
Los físicos suelen utilizar corchetes alrededor del símbolo de una magnitud física para representar sus dimensiones. Por ejemplo, si r es el radio de un cilindro y h su altura, escribimos [r]=L y [h]=L para indicar que las dimensiones del radio y la altura son las de la longitud, o L. Del mismo modo, si utilizamos el símbolo A para la superficie de un cilindro y V para su volumen, entonces [A] = L2 y [V] = L3. Si utilizamos el símbolo m para la masa del cilindro y ρ para la densidad del material del que está hecho el cilindro, entonces [m]=M y [ρ]=ML-3.
La importancia del concepto de dimensión surge del hecho de que cualquier ecuación matemática que relacione cantidades físicas debe ser dimensionalmente consistente, lo que significa que la ecuación debe obedecer las siguientes reglas:

Cada término de una expresión debe tener las mismas dimensiones; no tiene sentido sumar o restar cantidades de distinta dimensión (piensa en el viejo dicho: "No se pueden sumar manzanas y naranjas"). En particular, las expresiones a cada lado de la igualdad en una ecuación deben tener las mismas dimensiones.
Los argumentos de cualquiera de las funciones matemáticas estándar como las funciones trigonométricas (como seno y coseno), logaritmos o funciones exponenciales que aparecen en la ecuación deben ser adimensionales. Estas funciones requieren números puros como entradas y dan números puros como salidas.
Si se incumple alguna de estas reglas, una ecuación no es coherente desde el punto de vista dimensional y no puede ser un enunciado correcto de una ley física. Este simple hecho puede utilizarse para comprobar errores tipográficos o de álgebra, para ayudar a recordar las distintas leyes de la física e incluso para sugerir la forma que podrían adoptar nuevas leyes de la física. Este último uso de las dimensiones queda fuera del alcance de este texto, pero es algo que sin duda aprenderá más adelante en su carrera académica.

EJEMPLO 1.4
Utilizar las dimensiones para recordar una ecuación
Supongamos que necesitamos la fórmula del área de un círculo para algún cálculo. Como mucha gente que aprendió geometría hace demasiado tiempo como para recordarlo con certeza, cuando pensamos en círculos nos vienen a la cabeza dos expresiones: πr2 y 2πr. Una expresión es la circunferencia de un círculo de radio r y la otra es su área. Pero, ¿cuál es cuál?

Estrategia
Una estrategia natural es buscarla, pero puede llevar tiempo encontrar información de una fuente fiable. Además, aunque creamos que la fuente es fiable, no debemos fiarnos de todo lo que leemos. Es bueno tener una forma de hacer una doble comprobación con sólo pensarlo. También puede ocurrir que nos encontremos en una situación en la que no podamos buscar información (por ejemplo, durante un examen). Así pues, la estrategia consiste en hallar las dimensiones de ambas expresiones haciendo uso del hecho de que las dimensiones siguen las reglas del álgebra. Si alguna de las expresiones no tiene las mismas dimensiones que el área, entonces no es posible que sea la ecuación correcta para el área de un círculo.

Solución
Sabemos que la dimensión del área es L2. Ahora, la dimensión de la expresión πr2 es

[πr2]=[π]⋅[r]2=1⋅L2=L2,
ya que la constante π es un número puro y el radio r es una longitud. Por tanto, πr2 tiene la dimensión de área. Análogamente, la dimensión de la expresión 2πr es

[2πr]=[2]⋅[π]⋅[r]=1⋅1⋅L=L,
ya que las constantes 2 y π son adimensionales y el radio r es una longitud. Vemos que 2πr tiene la dimensión de longitud, lo que significa que no puede ser un área.

Descartamos 2πr porque no es dimensionalmente consistente con ser un área. Vemos que πr2 es dimensionalmente consistente con ser un área, así que si tenemos que elegir entre estas dos expresiones, πr2 es la que hay que elegir.

Significado
Puede parecer un ejemplo un poco tonto, pero las ideas son muy generales. Siempre que conozcamos las dimensiones de las cantidades físicas individuales que aparecen en una ecuación, podemos comprobar si la ecuación es dimensionalmente coherente. Por otra parte, sabiendo que las ecuaciones verdaderas son dimensionalmente coherentes, podemos emparejar expresiones de nuestra memoria imperfecta con las cantidades para las que podrían ser expresiones. Hacer esto no nos ayudará a recordar los factores adimensionales que aparecen en las ecuaciones (por ejemplo, si accidentalmente habías confundido las dos expresiones del ejemplo en 2πr2, entonces el análisis dimensional no es de ayuda), pero sí nos ayuda a recordar la forma básica correcta de las ecuaciones.

COMPRUEBE SU COMPRENSIÓN 1.5
Supongamos que queremos la fórmula del volumen de una esfera. Las dos expresiones que se suelen mencionar en las discusiones elementales sobre esferas son 4πr2 y 4πr3/3. Una es el volumen de una esfera de radio r y la otra es su superficie. Una es el volumen de una esfera de radio r y la otra es su superficie. ¿Cuál es el volumen?
EJEMPLO 1.5
Comprobación de la coherencia dimensional de las ecuaciones
Considere las cantidades físicas s, v, a, y t con dimensiones [s]=L, [v]=LT-1, [a]=LT-2, y [t]=T. Determine si cada una de las siguientes ecuaciones es dimensionalmente consistente: (a) s=vt+0.5at2; (b) s=vt2+0.5at; y (c) v=sin(at2/s).
Estrategia
Según la definición de consistencia dimensional, tenemos que comprobar que cada término de una ecuación dada tiene las mismas dimensiones que los demás términos de esa ecuación y que los argumentos de cualquier función matemática estándar son adimensionales.

Solución

En esta ecuación no hay funciones trigonométricas, logarítmicas o exponenciales de las que preocuparse, así que sólo tenemos que fijarnos en las dimensiones de cada término que aparece en la ecuación. Hay tres términos, uno en la expresión de la izquierda y dos en la expresión de la derecha, así que veremos cada uno por separado:
[s]=L[vt]=[v]⋅[t]=LT−1⋅T=LT0=L[0.5at2]=[a]⋅[t]2=LT−2⋅T2=LT0=L.

Los tres términos tienen la misma dimensión, por lo que esta ecuación es dimensionalmente coherente.
De nuevo, no hay funciones trigonométricas, exponenciales ni logarítmicas, por lo que sólo tenemos que fijarnos en las dimensiones de cada uno de los tres términos que aparecen en la ecuación:
[s]=L[vt2]=[v]⋅[t]2=LT−1⋅T2=LT[at]=[a]⋅[t]=LT−2⋅T=LT−1.

Ninguno de los tres términos tiene la misma dimensión que el otro, así que esto es lo más alejado que se puede estar de la coherencia dimensional. El término técnico para una ecuación como esta es sin sentido.
Esta ecuación contiene una función trigonométrica, por lo que primero debemos comprobar que el argumento de la función seno es adimensional:
[at2s]=[a]⋅[t]2[s]=LT−2⋅T2L=LL=1.

El argumento es adimensional. Hasta aquí, todo correcto. Ahora tenemos que comprobar las dimensiones de cada uno de los dos términos (es decir, la expresión de la izquierda y la expresión de la derecha) de la ecuación:
[v]=LT−1[sin(at2s)]=1.
Los dos términos tienen dimensiones diferentes, es decir, la ecuación no es dimensionalmente coherente. Esta ecuación es otro ejemplo de "sinsentido".

Significado
Si confiamos en las personas, este tipo de comprobaciones dimensionales pueden parecer innecesarias. Pero, tranquilos, cualquier libro de texto sobre un tema cuantitativo como la física (incluido éste) casi seguro que contiene algunas ecuaciones con erratas. Comprobar rutinariamente las ecuaciones mediante el análisis dimensional nos ahorra la vergüenza de utilizar una ecuación incorrecta. Además, comprobar las dimensiones de una ecuación que obtenemos mediante manipulación algebraica es una forma estupenda de asegurarnos de que no hemos cometido un error (o de detectar un error, si lo hemos cometido).

COMPRUEBE SU COMPRENSIÓN 1.6
¿Es la ecuación v = at dimensionalmente coherente?
Otro punto que hay que mencionar es el efecto de las operaciones de cálculo sobre las dimensiones. Hemos visto que las dimensiones obedecen a las reglas del álgebra, igual que las unidades, pero ¿qué ocurre cuando tomamos la derivada de una magnitud física con respecto a otra o integramos una magnitud física sobre otra? La derivada de una función no es más que la pendiente de la recta tangente a su gráfica y las pendientes son cocientes, por lo que para las magnitudes físicas v y t, tenemos que la dimensión de la derivada de v respecto a t no es más que el cociente de la dimensión de v sobre la de t:

[dvdt]=[v][t].
Del mismo modo, como las integrales son sumas de productos, la dimensión de la integral de v respecto a t es simplemente la dimensión de v multiplicada por la dimensión de t:

[∫vdt]=[v]⋅[t].
Por el mismo razonamiento, se aplican reglas análogas a las unidades de las magnitudes físicas derivadas de otras magnitudes por integración o diferenciación.