Ley Universal de Gravitación de Newton

Las leyes del movimiento de Newton demuestran que los objetos en reposo permanecen en reposo y los que están en movimiento continúan moviéndose uniformemente en línea recta a menos que actúe sobre ellos una fuerza. Por tanto, la línea recta es la que define el estado de movimiento más natural. Pero los planetas se mueven en elipses, no en línea recta; por tanto, alguna fuerza debe estar curvando sus trayectorias. Newton propuso que esa fuerza era la gravedad.

 

En tiempos de Newton, la gravedad era algo asociado únicamente a la Tierra. La experiencia cotidiana nos demuestra que la Tierra ejerce una fuerza gravitatoria sobre los objetos situados en su superficie. Si dejamos caer algo, se acelera hacia la Tierra al caer. Newton pensó que la gravedad de la Tierra podía llegar hasta la Luna y producir la fuerza necesaria para desviar la trayectoria de la Luna de una línea recta y mantenerla en su órbita. Además, formuló la hipótesis de que la gravedad no se limita a la Tierra, sino que existe una fuerza general de atracción entre todos los cuerpos materiales. De ser así, la fuerza de atracción entre el Sol y cada uno de los planetas podría mantenerlos en sus órbitas. (Esto puede parecer parte de nuestro pensamiento cotidiano hoy en día, pero era una idea extraordinaria en la época de Newton).

Una vez que Newton se atrevió a plantear la hipótesis de que existía una atracción universal entre todos los cuerpos en cualquier lugar del espacio, tuvo que determinar la naturaleza exacta de la atracción. La descripción matemática precisa de esa fuerza gravitatoria tenía que dictar que los planetas se movieran exactamente como Kepler los había descrito (como se expresa en las tres leyes de Kepler). Además, esa fuerza gravitatoria tenía que predecir el comportamiento correcto de los cuerpos que caen sobre la Tierra, tal y como observó Galileo. ¿Cómo debe depender la fuerza de la gravedad de la distancia para que se cumplan estas condiciones?

La respuesta a esta pregunta requería herramientas matemáticas que aún no se habían desarrollado, pero esto no disuadió a Isaac Newton, que inventó lo que hoy llamamos cálculo para abordar este problema. Finalmente, llegó a la conclusión de que la magnitud de la fuerza de la gravedad debe disminuir al aumentar la distancia entre el Sol y un planeta (o entre dos objetos cualesquiera) en proporción al cuadrado inverso de su separación. En otras palabras, si un planeta estuviera el doble de lejos del Sol, la fuerza sería (1/2)2, es decir, 1/4 más grande. Si el planeta estuviera tres veces más lejos, la fuerza sería (1/3)2, es decir, 1/9.

Fgravedad=GM1M2R2

La ley universal de la gravitación de Newton funciona para los planetas, pero ¿es realmente universal? La teoría de la gravitación también debería predecir la aceleración observada de la Luna hacia la Tierra cuando orbita alrededor de ésta, así como la de cualquier objeto (por ejemplo, una manzana) que se deje caer cerca de la superficie terrestre. La caída de una manzana es algo que podemos medir con bastante facilidad, pero ¿podemos utilizarla para predecir los movimientos de la Luna?

Recordemos que, según la segunda ley de Newton, las fuerzas provocan aceleraciones. La ley universal de la gravitación de Newton dice que la fuerza que actúa sobre un objeto (y, por tanto, su aceleración) hacia la Tierra debe ser inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al centro de la Tierra. Se observa que objetos como manzanas en la superficie de la Tierra, a una distancia de un radio terrestre del centro de la Tierra, se aceleran hacia abajo a 9,8 metros por segundo por segundo (9,8 m/s2).

Es esta fuerza de gravedad en la superficie de la Tierra la que nos da nuestra sensación de peso. A diferencia de la masa, que es la misma en cualquier planeta o luna, el peso depende de la fuerza de gravedad local. Por tanto, en Marte y en la Luna pesarás menos que en la Tierra, aunque tu masa no cambie. (Lo que significa que, a la vuelta, tendrías que comer menos postres en la cafetería de la universidad).

La Luna está a 60 radios terrestres del centro de la Tierra. Si la gravedad (y la aceleración que provoca) se debilita con la distancia al cuadrado, la aceleración que experimenta la Luna debería ser mucho menor que la de la manzana. La aceleración debería ser de (1/60)2 = 1/3600 (o 3600 veces menos, aproximadamente 0,00272 m/s2). Esta es precisamente la aceleración observada de la Luna en su órbita. (Como veremos, la Luna no cae hacia la Tierra con esta aceleración, sino que cae alrededor de la Tierra). Imaginemos la emoción que debió de sentir Newton al darse cuenta de que había descubierto, y verificado, una ley válida para la Tierra, las manzanas, la Luna y, por lo que él sabía, todo lo que existe en el universo.

EJEMPLO 3.3
Calcular el peso
¿En qué factor cambiaría el peso de una persona en la superficie de la Tierra si ésta tuviera su masa actual pero ocho veces su volumen actual?

Solución
Con un volumen ocho veces mayor, el radio de la Tierra se duplicaría. Esto significa que la fuerza gravitatoria en la superficie se reduciría en un factor de (1/2)2 = 1/4, por lo que una persona pesaría sólo una cuarta parte.

Compruebe su aprendizaje
¿En qué factor cambiaría el peso de una persona en la superficie de la Tierra si ésta tuviera su tamaño actual pero sólo un tercio de su masa actual?

RESPUESTA:
Con un tercio de su masa actual, la fuerza gravitatoria en la superficie se reduciría en un factor de 1/3, por lo que una persona pesaría sólo un tercio.

La gravedad es una propiedad "intrínseca" de la masa. Siempre que haya masas en el universo, interactuarán a través de la fuerza de atracción gravitatoria. Cuanta más masa haya, mayor será la fuerza de atracción. Aquí en la Tierra, la mayor concentración de masa es, por supuesto, el planeta sobre el que estamos, y su atracción domina las interacciones gravitatorias que experimentamos. Pero todo lo que tiene masa atrae a todo lo que tiene masa en cualquier parte del universo.

La ley de Newton también implica que la gravedad nunca llega a ser cero. Se debilita rápidamente con la distancia, pero sigue actuando en cierta medida por muy lejos que nos encontremos. La atracción del Sol es más fuerte en Mercurio que en Plutón, pero puede sentirse mucho más allá de Plutón, donde los astrónomos tienen pruebas fehacientes de que continuamente hace que un enorme número de cuerpos helados más pequeños se muevan alrededor de órbitas enormes. Y la atracción gravitatoria del Sol se une a la de miles de millones de otras estrellas para crear la atracción gravitatoria de nuestra galaxia, la Vía Láctea. Esa fuerza, a su vez, puede hacer que otras galaxias más pequeñas orbiten alrededor de la Vía Láctea, y así sucesivamente.

Al caer, se encuentran en caída libre y aceleran a la misma velocidad que todo lo que les rodea, incluida su nave espacial o una cámara con la que están tomando fotografías de la Tierra. Al hacerlo, los astronautas no experimentan fuerzas adicionales y, por tanto, se sienten "ingrávidos". Sin embargo, a diferencia de los pasajeros del ascensor que caen, los astronautas caen alrededor de la Tierra, no hacia la Tierra; como resultado, seguirán cayendo y se dice que están "en órbita" alrededor de la Tierra (véase la siguiente sección para más información sobre órbitas).

Movimiento orbital y masa
Las leyes de Kepler describen las órbitas de los objetos cuyo movimiento describen las leyes del movimiento de Newton y la ley de la gravedad. Sin embargo, saber que la gravedad es la fuerza que atrae a los planetas hacia el Sol permitió a Newton replantearse la tercera ley de Kepler. Recordemos que Kepler había encontrado una relación entre el periodo orbital de la revolución de un planeta y su distancia al Sol. Pero la formulación de Newton introduce el factor adicional de las masas del Sol (M1) y del planeta (M2), ambas expresadas en unidades de la masa del Sol. La ley universal de la gravitación de Newton permite demostrar matemáticamente que esta relación es en realidad

a3=(M1+M2)×P2
donde a es el semieje mayor y P es el período orbital.

¿Cómo pasó por alto Kepler este factor? En unidades de la masa del Sol, la masa del Sol es 1, y en unidades de la masa del Sol, la masa de un planeta típico es un factor insignificantemente pequeño. Esto significa que la suma de la masa del Sol y la masa de un planeta, (M1 + M2), es muy, muy cercana a 1. Esto hace que la fórmula de Newton parezca casi la misma que la de Kepler; la diminuta masa de los planetas comparada con la del Sol es la razón por la que Kepler no se dio cuenta de que había que incluir ambas masas en el cálculo. Sin embargo, en astronomía hay muchas situaciones en las que sí es necesario incluir los dos términos de masa, por ejemplo, cuando dos estrellas o dos galaxias orbitan una alrededor de la otra.

La inclusión del término masa nos permite utilizar esta fórmula de una forma nueva. Si podemos medir los movimientos (distancias y periodos orbitales) de los objetos que actúan bajo su gravedad mutua, la fórmula nos permitirá deducir sus masas. Por ejemplo, podemos calcular la masa del Sol a partir de las distancias y los periodos orbitales de los planetas, o la masa de Júpiter observando los movimientos de sus lunas.

De hecho, la reformulación de Newton de la tercera ley de Kepler es uno de los conceptos más poderosos de la astronomía. Nuestra capacidad para deducir las masas de los objetos a partir de sus movimientos es clave para comprender la naturaleza y evolución de muchos cuerpos astronómicos. Utilizaremos esta ley repetidamente a lo largo de este texto en cálculos que van desde las órbitas de los cometas hasta las interacciones de las galaxias.