Estimaciones y cálculos de Fermi

Objetivos de aprendizaje
Al final de esta sección, serás capaz de:
Estimar los valores de las magnitudes físicas.
En muchas ocasiones, los físicos, otros científicos e ingenieros necesitan hacer estimaciones de una cantidad concreta. Otros términos que se utilizan a veces son estimaciones aproximadas, aproximaciones de orden de magnitud, cálculos a posteriori o cálculos de Fermi. (El físico Enrico Fermi antes mencionado era famoso por su capacidad para estimar diversos tipos de datos con una precisión sorprendente). ¿Cabrá ese equipo en el maletero del coche o tendremos que alquilar un camión? ¿Cuánto durará la descarga? ¿Qué intensidad de corriente habrá en este circuito cuando se encienda? ¿Cuántas casas podría alimentar realmente la central eléctrica propuesta si se construye? Ten en cuenta que estimar no significa adivinar un número o una fórmula al azar. Más bien, estimar significa utilizar la experiencia previa y un razonamiento físico sólido para hacerse una idea aproximada del valor de una cantidad. Dado que el proceso de determinar una aproximación fiable suele implicar la identificación de principios físicos correctos y una buena conjetura sobre las variables relevantes, la estimación es muy útil para desarrollar la intuición física. Las estimaciones también nos permiten realizar "comprobaciones de cordura" en cálculos o propuestas políticas, ya que nos ayudan a descartar determinados escenarios o cifras poco realistas. Nos permiten desafiar a los demás (y a nosotros mismos) en nuestros esfuerzos por aprender verdades sobre el mundo.

Muchas estimaciones se basan en fórmulas en las que las cantidades de entrada sólo se conocen con una precisión limitada. A medida que desarrolle sus habilidades para resolver problemas de física (aplicables a una amplia variedad de campos), también desarrollará sus habilidades para hacer estimaciones. Estas habilidades se desarrollan pensando de forma más cuantitativa y estando dispuesto a asumir riesgos. Como con cualquier otra habilidad, la experiencia ayuda. También ayuda familiarizarse con las dimensiones (véase la Tabla 1.3) y las unidades (véanse las Tablas 1.1 y 1.2), así como con las escalas de las cantidades base (véase la Figura 1.4).

Para progresar en la estimación, es necesario tener algunas ideas definidas sobre cómo pueden estar relacionadas las variables. Las siguientes estrategias pueden ayudarte a practicar el arte de la estimación:

Obtén grandes longitudes a partir de longitudes más pequeñas. Cuando calcules longitudes, recuerda que cualquier cosa puede ser una regla. Imagina que divides una cosa grande en cosas más pequeñas, calcula la longitud de una de las cosas más pequeñas y multiplícala para obtener la longitud de la cosa grande. Por ejemplo, para calcular la altura de un edificio, cuenta primero cuántas plantas tiene. A continuación, calcula el tamaño de una sola planta imaginando cuántas personas tendrían que subirse a los hombros de las demás para alcanzar el techo. Por último, calcula la altura de una persona. El producto de estas tres estimaciones es tu cálculo de la altura del edificio. Resulta útil haber memorizado algunas escalas de longitud relevantes para el tipo de problemas que vas a resolver. Por ejemplo, conocer algunas de las escalas de longitud de la figura 1.4 puede ser útil. A veces también ayuda hacer esto a la inversa, es decir, para calcular la longitud de una cosa pequeña, imagina un montón de ellas formando una cosa más grande. Por ejemplo, para calcular el grosor de una hoja de papel, calcula el grosor de una pila de papel y luego divídelo por el número de páginas de la pila. Estas mismas estrategias de dividir cosas grandes en cosas más pequeñas o de sumar cosas más pequeñas en una cosa más grande pueden utilizarse a veces para estimar otras magnitudes físicas, como masas y tiempos.
Obtener áreas y volúmenes a partir de longitudes. Cuando tengas que calcular el área o el volumen de un objeto complejo, introduce un modelo sencillo del objeto, como una esfera o una caja. A continuación, estima primero las dimensiones lineales (como el radio de la esfera o la longitud, anchura y altura de la caja) y utiliza tus estimaciones para obtener el volumen o el área a partir de fórmulas geométricas estándar. Si ya tienes una estimación del área o del volumen de un objeto, también puedes hacer lo contrario, es decir, utilizar fórmulas geométricas estándar para obtener una estimación de sus dimensiones lineales.
Obtener masas a partir de volúmenes y densidades. A la hora de estimar las masas de los objetos, puede ser útil estimar primero su volumen y luego su masa a partir de una estimación aproximada de su densidad media (recordemos que la densidad tiene la dimensión masa sobre longitud al cubo, por lo que la masa es densidad por volumen). Para ello, es útil recordar que la densidad del aire es de aproximadamente 1 kg/m3, la densidad del agua es de 103 kg/m3 y los sólidos cotidianos más densos alcanzan un máximo de unos 104 kg/m3. Si te preguntas si un objeto flota o se hunde en el aire o en el agua, obtendrás una estimación aproximada de su densidad. También puedes hacerlo a la inversa: si tienes una estimación de la masa y la densidad de un objeto, puedes utilizarlas para obtener una estimación de su volumen.
Si todo lo demás falla, limítalo. Para cantidades físicas para las que no tienes mucha intuición, a veces lo mejor que puedes hacer es pensar algo como: Bueno, debe ser mayor que esto y menor que aquello. Por ejemplo, supongamos que tenemos que calcular la masa de un alce. Tal vez tengas mucha experiencia con alces y sepas de memoria su masa media. Si es así, estupendo. Pero para la mayoría de la gente, lo mejor que pueden hacer es pensar algo así como: Debe ser mayor que una persona (del orden de 102 kg) y menor que un coche (del orden de 103 kg). Si necesitas un solo número para un cálculo posterior, puedes tomar la media geométrica de los límites superior e inferior, es decir, los multiplicas y luego sacas la raíz cuadrada. Para el ejemplo de la masa del alce, sería
(102×103)0.5=102.5=100.5×102≈3×102kg.

Cuanto más estrictos sean los límites, mejor. Además, no hay reglas inquebrantables en materia de estimación. Si crees que es probable que el valor de la cantidad se acerque más al límite superior que al inferior, es posible que quieras aumentar tu estimación de la media geométrica en un orden o dos de magnitud.
Una "sig. fig." está bien. No es necesario ir más allá de una cifra significativa cuando se hacen cálculos para obtener una estimación. En la mayoría de los casos, el orden de magnitud es suficiente. El objetivo es obtener una cifra aproximada, por lo que la aritmética debe ser lo más sencilla posible.
Pregúntate a ti mismo: ¿Tiene sentido? Por último, comprueba si tu respuesta es razonable. ¿Cómo se compara con los valores de otras cantidades con las mismas dimensiones que ya conoces o que puedes buscar fácilmente? Si obtienes una respuesta disparatada (por ejemplo, si calculas que la masa del océano Atlántico es mayor que la masa de la Tierra, o que un lapso de tiempo es mayor que la edad del universo), comprueba primero si tus unidades son correctas. Después, comprueba si hay errores aritméticos. A continuación, reconsidera la lógica que has utilizado para llegar a tu respuesta. Si todo concuerda, es posible que acabes de demostrar que una nueva idea ingeniosa es en realidad falsa.
EJEMPLO 1.6
Masa de los océanos de la Tierra
Estima la masa total de los océanos de la Tierra.

Estrategia
Sabemos que la densidad del agua es de unos 103 kg/m3, así que partimos del consejo de "obtener masas a partir de densidades y volúmenes". Así pues, tenemos que calcular el volumen de los océanos del planeta. Siguiendo el consejo de "obtener áreas y volúmenes a partir de longitudes", podemos calcular el volumen de los océanos como el área de la superficie por la profundidad media, o V = AD. Conocemos el diámetro de la Tierra a partir de la Figura 1.4 y sabemos que la mayor parte de la superficie terrestre está cubierta de agua, por lo que podemos estimar que la superficie de los océanos es aproximadamente igual a la superficie del planeta. Siguiendo de nuevo el consejo de "obtener áreas y volúmenes a partir de longitudes", podemos aproximar la Tierra como una esfera y utilizar la fórmula de la superficie de una esfera de diámetro d, es decir, A=πd2, para estimar la superficie de los océanos. Ahora sólo tenemos que calcular la profundidad media de los océanos. Para ello, utilizamos el consejo "Si todo lo demás falla, delimítalo". Resulta que sabemos que los puntos más profundos del océano están en torno a los 10 km y que no es raro que el océano tenga más de 1 km de profundidad, así que tomamos la profundidad media en torno a (103×104)0,5≈3×103m. Ahora sólo tenemos que unirlo todo, atendiendo al consejo de que "una 'sig. fig.' está bien".

Solución
Estimamos que la superficie de la Tierra (y, por tanto, la superficie de sus océanos) es de aproximadamente

A=πd2=π(107m)2≈3×1014m2.
A continuación, utilizando nuestra estimación de profundidad media de D=3×103m, obtenida por acotación, estimamos que el volumen de los océanos de la Tierra es de

V=AD=(3×1014m2)(3×103m)=9×1017m3.
Por último, estimamos que la masa de los océanos del mundo es de

M=ρV=(103kg/m3)(9×1017m3)=9×1020kg.
Así, estimamos que el orden de magnitud de la masa de los océanos del planeta es de 1021 kg.

Significado
Para verificar nuestra respuesta lo mejor posible, primero tenemos que responder a la pregunta: ¿Tiene esto algún sentido? En la figura 1.4 vemos que la masa de la atmósfera terrestre es del orden de 1019 kg y la masa de la Tierra del orden de 1025 kg. Resulta tranquilizador que nuestra estimación de 1021 kg para la masa de los océanos de la Tierra se sitúe entre ambas. Así que, sí, parece tener sentido. Resulta que hemos buscado en Internet "masa de los océanos" y los primeros resultados indican 1,4×1021 kg, que es el mismo orden de magnitud que nuestra estimación. Ahora, en lugar de tener que confiar ciegamente en quien primero puso esa cifra en un sitio web (después de todo, la mayoría de los demás sitios probablemente sólo la copiaron de ellos), podemos tener un poco más de confianza en ella.

COMPRUEBE SU COMPRENSIÓN 1.7
Según la figura 1.4, la masa de la atmósfera es de 1019 kg. Suponiendo que la densidad de la atmósfera es de 1 kg/m3, calcula la altura de la atmósfera terrestre. ¿Crees que tu respuesta es una subestimación o una sobreestimación? Explica por qué.
¿Cuántos afinadores de pianos hay en Nueva York? ¿Cuántas hojas tiene ese árbol? Si estás estudiando la fotosíntesis o pensando en escribir una aplicación para teléfonos inteligentes destinada a los afinadores de pianos, entonces las respuestas a estas preguntas podrían interesarte mucho. Si no, probablemente no le importen lo más mínimo las respuestas. Sin embargo, estos son exactamente los tipos de problemas de estimación que la gente de varias industrias tecnológicas ha estado preguntando a empleados potenciales para evaluar sus habilidades de razonamiento cuantitativo. Si la construcción de la intuición física y la evaluación de afirmaciones cuantitativas no parecen razones suficientes para que practiques problemas de estimación, ¿qué te parece el hecho de que ser bueno en ellos podría conseguirte un trabajo bien pagado?